02 – Kublin


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Create Date 9. May 2017
Last Updated 9. May 2017
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Nichtparametrische Modelle werden aufgrund ihrer Flexibilität eingesetzt, wenn parametrische Regressionen keine befriedigende Anpassung an die beobachteten Daten liefern. Mit der Flexibilität dieser Modelle lassen sich Daten in der Regel gut fitten und Abhängigkeitsstrukturen aufdecken, die im parametrischen Ansatz verborgen bleiben. Die Splineglättung ist ein nichtparametrisches Regressionsverfahren, das seit geraumer Zeit bekannt ist und wegen der numerischen und statistischen Eigenschaften der angepassten Regressionsfunktion gerne im Rahmen von explorativen Datenanalysen im Vorfeld der Modellbildung eingesetzt wird.

Im methodischen Teil dieses Beitrags werden die statistischen Grundlagen der Splineglättung kurz skizziert. Bei der Splineglättung wird die Regressionsfunktion additiv aus einfachen Funktionen unterschiedlichen Typs, den Basisfunktionen, mit analytisch und numerisch günstigen Eigenschaften zusammengesetzt (Gleichung (3), Abbildung 1). Die Anzahl der dabei verwendeten Basisfunktionen bestimmt die Flexibilität der Regressionsfunktion (Abbildung 3). Bei zu starker Flexibilität besteht die Gefahr einer Überglättung. Bei einer zu geringen Anzahl von Basisfunktionen ergeben sich zu glatte Regressionskurven mit der Gefahr einer systematischen Fehlschätzung der untersuchten Abhängigkeitsstrukturen. Mit der Penalisierten Splineregression wird ein Mittelweg angestrebt. Für die Regression wird eine hinreichende Anzahl von Basisfunktionen verwendet und eine zu hohe Flexibilität durch die Einführung eines Strafterms beim Kleinsten Quadrate Kriterium für die Schätzung der Modellparameter verhindert (Gleichung 11). Der Typ der Basisfunktionen spielt für die Güte der Anpassung keine Rolle (Abbildung 3), ist aber für die Interpretation geschätzten Regressionsparameter von Bedeutung. Mit der Einbettung der Splineglättung in den methodischen Rahmen der linearen gemischten Modelle (Gleichung (13)), steht ein gut fundiertes und breit gefächertes Methodenspektrum sowie eine Vielzahl analytischer Verfahren zur Schätzung des glättenden Splines zur Verfügung. Für die Modellkalibrierung kann die Standardsoftware für lineare gemischte Modelle von R und SAS® eingesetzt werden. Mit einfachen Erweiterungen lassen sich auch räumlich und zeitlich korrelierte Messdaten mit dem vorgestellten Regressionsmodellen untersuchen.

Die im methodischen Teil besprochenen Verfahren werden im zweiten Teil des Beitrags zur Analyse von Höhenwuchsreihen von Japanlärchen (Larix kaempferi) von Versuchsflächen eingesetzt. Die 47 Versuchsflächen, die in diese Studie einbezogen werden, sind weiträumig über ganz Baden-Württemberg verteilt (Abbildung 1). Insgesamt umfasst das Datenmaterial 12822 Höhenmessungen von 5404 Probebäumen mit einem breit gefächerten Alters-Höhen Spektrum (Tabelle 1). Aus diesen Daten wird in einem ersten Schritt der Alters-Höhentrend für die Gesamtpopulation mit einem glättenden Spline herausgefiltert. Die Abweichung in den einzelnen Flächen vom Trend der Gesamtpopulation wird durch zufällige Splinefunktionen mit Mittelwert null modelliert. Damit können für jede Probefläche lokal angepasste Alters-Höhen Kurven und Höhenbonitäten berechnet werden (Abbildung 4). Zur Beurteilung der statistischen Genauigkeit werden mit den angepassten Regressionsmodellen Vertrauensintervalle für die Trendschätzung und Vorhersagefehler für die Höhenbonität abgeleitet (Abbildung 5). Die Überprüfung der Modellanpassung zeigt, dass neben einer Flächengruppierung zeitliche korrelierte Modellresiduen in den Höhenprofilen einzelner Probebäume zu beobachten sind. Die Residuenanalyse entdeckt auch Effekte, die zeitlich synchron und großräumig über alle Flächen hinweg wirken (Abbildung 6), was eine Modellverfeinerung notwendig macht. Mit einer Zufallskomponente, die die Wiederholungsmessungen am Probebaum berücksichtigt sowie der Einbeziehung eines zufälligen Effekts für jährlichen Schwankungen im Höhenwachstum, lassen sich Weiserjahre für das Höhenwachstum identifizieren und das Problem autokorrelierter Modellresiduen reduzieren (Abbildung 7 und 8). Das derart modifizierte Modell ist ein guter Ausgangspunkt für statistische Untersuchungen zum Einfluss der Bestandesbehandlungen auf das Höhenwachstum und anderer Zusammenhänge. Für die praktische Umsetzung der vorgestellten Methoden werden im Anhang Beispiel- Skripte zur Implementierungen der statistischen Modellkalibrierung mit der Statistik Software R angegeben.

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